1000円の商品を20％値下げし、その後で20％値上げしたら、元の1000円に戻るでしょうか。答えは960円です。「引いた分を足したはずなのに」と感じる理由は、2回の20％で基準にする金額が違うから。身近な数学の雑学・第7回は、買い物の数字から割合を考えます。
- 20％引きは0.8倍、20％増は1.2倍。続けると0.96倍になる。
- 800円から1000円に戻すには、800円の25％を足す。
- 「何の何％か」を確認すると、連続する割合を読み違えにくい。
1000円で計算すると、変わるのは「20％の中身」
ここでは税・送料・端数処理を考えず、表示金額にその都度割合を掛けるものとします。1000円の20％は200円なので、値下げ後は1000−200＝800円です。次に足す20％は、この800円の20％＝160円。800＋160＝960円になり、最初より40円少なくなります。
割合による値引きの基本は、元の価格に割引率を掛けて値引き額を求め、それを価格から引くことです。米ライス大学の教育プロジェクトOpenStaxも、この関係を説明しています。出典：Elementary Algebra 2e「Solve Percent Applications」（2026年10月4日確認）。この1000円の連続計算は、その考え方を使った本記事の例です。
sale price = original price − amount of discount
OpenStax, Elementary Algebra 2e, §3.2「Discount」
式の意味は「値引き後の価格＝元の価格−値引き額」。同じ％の表示でも、掛ける相手が変われば金額も変わります。
同じ20％なのに、200円と160円になるのが面白いですね。「何円を基準にしている？」と考えると、すっと納得できます！
足し引きではなく「何倍か」に直してみる
20％引きなら、残るのは100％−20％＝80％なので0.8倍。20％増なら120％なので1.2倍です。順番に掛けると、1000×0.8×1.2＝960。0.8×1.2＝0.96なので、全体では4％減ったことになります。
一般に、0以上1未満の割合rだけ減らした後、減った後の値を同じ割合rだけ増やすと、倍率は（1−r）（1＋r）＝1−r²です。r＝0.2なら1−0.04＝0.96。最初の値が正で、0＜r＜1なら、元の値より小さくなります。
800円を1000円に戻すなら何％増？
戻すには200円を足します。増やす直前の800円を基準にすると、200÷800＝0.25。必要なのは25％増です。800×1.25＝1000と確かめられます。
「1000円から200円減った」は20％減ですが、「800円から200円増えた」は25％増。同じ200円でも分母が違います。一般式では、rだけ減らした後に戻すための増加率はr÷（1−r）です。r＝1、つまり100％減でゼロになった場合には、この式は使えません。
「20％引きからさらに20％引き」は40％引き？
2回とも、その時点の価格から20％引くなら、1000×0.8×0.8＝640円。元の価格との差は360円なので、合計36％引きです。40％引きの600円とは異なります。実際のクーポンでは、併用条件・割引対象・端数処理も確認しましょう。
一方、「どちらの値引きも最初の1000円を基準に200円ずつ引く」という条件なら600円になります。計算の前に基準と適用順を読むことが大切です。
小さな確認問題：50％引きの後に50％増やすと？
1000円なら、半額で500円。その500円を50％増やすと750円です。元に戻すには500円をもう500円増やす必要があるので、100％増となります。割合の数字だけを足し引きせず、途中の金額を書いてみてください。
「身近な数学の雑学」これまでの回
出典は上記OpenStaxの割合・値引きの解説。具体例・一般式の展開・図解は本記事で計算しました。アイキャッチはAI生成イメージで、本文の数値図は計算に基づいて作図しています。
