総当たり戦は何試合？4チームが6試合になる理由と数え方【数学の雑学・第9回】

2026年10月12日

4チームの総当たりなら、全部で何試合でしょう。1チームが3チームと戦うから「4×3＝12試合」と考えたくなりますが、答えは6試合。今回は、ゲーム会やスポーツの予定づくりにも役立つ「同じ組み合わせを2回数えない」数学の雑学です。

この記事のポイント

まず4チームで、実際に書き出してみる

A・B・C・Dの4チームが、どの相手とも1回ずつ対戦するとします。自分自身とは戦わず、再戦や決勝の追加もない条件です。組み合わせを書き出すと、AB・AC・AD・BC・BD・CDの6つになります。

Aに関係する試合は3つ。続いてBを見ると、BAはABとして数えてあるので、新しい試合はBC・BDの2つです。CではCDの1つだけ。合計は3＋2＋1＝6。順番に「まだ数えていない相手」だけを拾うと、迷いにくくなります。

nチームなら、各チームの相手は自分を除いたn−1チーム。n(n−1)は、チーム側から見た出場回数の合計です。1試合には2チームが出るため、試合そのものの数に直すには2で割ります。

試合数＝n(n−1)÷2

これは、集まった人が全員と1回ずつ握手する「握手の問題」と同じ組み合わせの数え方です。Wolfram MathWorldのHandshake Problemでも、この式と重複を避けて足す方法が説明されています（2026年10月12日確認）。

4チームで一度書き出すと、「2で割る」が急に納得しやすくなりますね。公式を覚える前に、小さな例を試すのはやっぱり大事だと感じます！

この表は各ペアをプログラムで列挙して、式の結果と一致することも確かめました。たとえば4チームから8チームへ増やすと、6試合が28試合に。参加者を増やすときは、人数だけでなく対戦の組み合わせも増えるのがポイントです。

もう1チーム追加すると、その新チームは元の全チームと対戦します。4チームから5チームなら4試合が増えて、6＋4＝10試合。この見方なら、毎回最初から数え直さずに済みます。

ここからは独自の例です。4チーム・1試合10分、入れ替え時間なしと仮定します。1会場で順番に行えば6×10＝60分。一方、2会場で同時に対戦できるなら、次の3ラウンドに分けられます。

各ラウンドで同じチームの出番は重なりません。全6カードを1回ずつ消化でき、仮定上は3×10＝30分です。実際の開催時間には、説明・休憩・機材準備・延長なども必要です。「何試合あるか」と「何分で終わるか」は分けて考えましょう。

総当たりでも最後に決勝を追加するなら、その分を足します。「nはいくつか」より先に、どの組み合わせを何回実施するルールなのかを確認すると、計算の取り違えを防げます。この記事の4チーム例は数学用の仮定で、特定の大会の採用ルールではありません。

but this includes each handshake twice
ケンブリッジ大学 NRICH「Handshakes」Student Solutions

引用は「ただし、これは各握手を2回ずつ含んでいる」という意味です。NRICHの握手の問題では、同じ出来事を人ごとに数えると重複する点を考えられます（2026年10月12日確認）。自分で確かめるなら、まず5人の名前を書いてペアを線で結んでみてください。線が10本になるか、数えてみましょう。

アイキャッチはAI生成のイメージです。本文の対戦図は、6通りの組み合わせから作図したオリジナル図解です。

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