アイキャッチはAI生成のイメージです。数値や証明を表す図ではありません。
- 23人で、同じ誕生日のペアがいる確率は約50.73％
- 「自分と同じ誕生日」と「誰か同士が同じ」は別の問い
- 全員の誕生日が違う確率から計算すると分かりやすい
クラスや職場で、誕生日が同じ人を見つけると少し驚きますよね。では、何人集まれば「誰か2人以上の誕生日が一致する」確率が半分を超えるのでしょうか。答えは、一定の前提のもとで23人です。連載「身近な数学の雑学」の第1回は、この誕生日問題を身近な集まりに置き換えて考えます。
誕生日問題の答えは23人。ただし前提がある
ここでは1年を365日とし、どの日に生まれる確率も同じで、人ごとの誕生日は独立だと仮定します。年齢や生まれた年は比べず、月日だけを比べます。うるう日の扱いや、季節による出生数の違いなどは入れない数学モデルです。
考え方の参考：Wolfram MathWorld「Birthday Problem」（資料確認：2026年9月13日）。以下の具体例・計算表は本記事用に作成しています。
現実の名簿に必ず同じ割合が現れるという意味ではありません。23人のグループで一致がなくても普通に起こり得ます。「半分以上」は、同じ条件で集まりを何度も作るときの確率です。
23人という少なさが面白いですね！「誰と誰を比べているか」に注目すると、驚きの理由が見えてきます。
23人の中には253通りのペアがある
自分と残り22人を比べるだけなら、比較相手は22人です。一方、集まり全体で誰か同士が一致すればよいなら、AさんとBさん、AさんとCさん、BさんとCさん……と組み合わせが増えます。23人から2人を選ぶペアは23×22÷2＝253通りあります。
この数の多さが直感とのずれを生みます。ただし、253通りをそのまま足して253÷365とするのは正確ではありません。3人が同じ誕生日になるなど、一致する出来事が重なって数えられるためです。
「全員違う」確率を引けば計算できる
1人目は何月何日でも構いません。2人目が違う日は364日。そこまで全員違っていれば、3人目が避ける日は2日なので、残り363日です。この条件付きの割合を順に掛けます。
一致する確率＝1−（365/365）×（364/365）×…×（343/365）
23人目まで全員違う確率は約49.27％。したがって、少なくとも1組が一致する確率は約50.73％になります。「少なくとも」なので、2組以上ある場合や3人以上が同じ日である場合も含みます。
| 人数 | 少なくとも1組が一致する確率 |
|---|---|
| 10 | 11.69% |
| 20 | 41.14% |
| 22 | 47.57% |
| 23 | 50.73% |
| 30 | 70.63% |
| 40 | 89.12% |
| 50 | 97.04% |
自分と同じ誕生日の人がいる確率は？
自分以外の22人の中に、自分と同じ誕生日の人がいる確率は、1−（364/365）の22乗で約5.86％です。グループの誰か同士を比べた約50.73％とは、大きく違います。友人にクイズを出すなら、この主語をはっきりさせると伝わりやすくなります。
ミニクイズ：30人なら一致はほぼ確実？
答えは「まだ確実ではない」です。30人では約70.63％なので、一致しない確率も約29.37％残っています。数学の面白さは、印象を少し細かい数字に置き換えられるところにあります。実際に集まりで試す場合も、1回の結果だけで式が正しい・間違いと判断しないようにしましょう。
「身近な数学の雑学」連載
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